Что считает калькулятор прогрессии
Прогрессия — это числовая последовательность, построенная по одному правилу. В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число (разность d), в геометрической — умножают на одно и то же число (знаменатель q). Тема входит в программу 9 класса и встречается на ОГЭ и ЕГЭ.
Калькулятор находит член с любым номером n, сумму первых n членов и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Он не просто выдаёт ответ: под результатом видно, какие числа подставлены в формулу и что получилось на каждом шаге. Рядом выводятся первые члены последовательности — так сразу заметно, если данные введены неверно.
Формулы арифметической прогрессии
aₙ = a₁ + (n − 1)·d — n-й член
Sₙ = n·(a₁ + aₙ) ÷ 2 — сумма первых n членов
Пусть a₁ = 3 и d = 2, то есть последовательность 3; 5; 7; 9; … Десятый член равен 3 + (10 − 1)·2 = 21, а сумма первых десяти членов — 10·(3 + 21) ÷ 2 = 120. Если разность отрицательная, прогрессия убывает: при a₁ = 100 и d = −5 восьмой член равен 65.
Формулы геометрической прогрессии
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ — n-й член
Sₙ = b₁·(qⁿ − 1) ÷ (q − 1) — сумма первых n членов (при q ≠ 1)
S∞ = b₁ ÷ (1 − q)— сумма бесконечно убывающей прогрессии (при |q| < 1)
Для прогрессии 2; 6; 18; 54; … (b₁ = 2, q = 3) десятый член равен 2·3⁹ = 39 366, а сумма первых десяти членов — 2·(3¹⁰ − 1) ÷ 2 = 59 048. Если знаменатель по модулю меньше единицы, члены становятся всё мельче: у прогрессии 8; 4; 2; 1; … сумма всех членов равна 16, хотя слагаемых бесконечно много.
Частые ошибки в задачах на прогрессии
- Забывают вычесть единицу: в формуле стоит (n − 1), а не n, потому что к первому члену разность ещё не прибавляли.
- Путают разность и знаменатель: d прибавляют, q умножают. Проверьте соседние члены — постоянна разность или отношение.
- Считают сумму бесконечной прогрессии при |q| ≥ 1. Такой суммы не существует: члены не убывают, и сумма растёт неограниченно.
- Берут дробный или нулевой номер n. Номер члена — целое число, начиная с единицы.
- Теряют знак у отрицательного q: последовательность становится знакочередующейся, например 2; −6; 18; −54.