Формула стандартного отклонения
Стандартное отклонение показывает, насколько сильно значения отклоняются от среднего. Считают его в четыре шага: находят среднее, вычитают его из каждого значения, возводят разности в квадрат и усредняют, а затем извлекают корень.
σ = √( Σ(xᵢ − x̄)² ÷ n ) — генеральная совокупность
s = √( Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) — выборка
Разница только в делителе. Возведение в квадрат нужно, чтобы отклонения в плюс и в минус не гасили друг друга: их простая сумма всегда равна нулю.
Когда какой вариант выбирать
- Генеральная совокупность (n). Данные охватывают всю изучаемую группу целиком.
- Выборка (n − 1). Данные — часть группы, и вы делаете вывод обо всей совокупности.
На больших наборах разница между вариантами почти незаметна, но при 10–20 значениях она уже существенна, поэтому тип данных стоит выбирать осознанно.
Где применяется
В курсовых и дипломных работах стандартное отклонение пишут рядом со средним в формате «M ± σ». В производстве по нему оценивают стабильность процесса, в инвестициях — волатильность актива, в спорте — разброс результатов спортсмена от попытки к попытке. Везде смысл один: среднее говорит о типичном значении, сигма — о том, насколько можно на это типичное значение полагаться.
Частые вопросы
Что показывает стандартное отклонение?
Это средний разброс значений вокруг среднего арифметического, выраженный в тех же единицах, что и сами данные. Чем меньше стандартное отклонение, тем плотнее значения группируются возле среднего. Два набора чисел могут иметь одинаковое среднее, но совершенно разный разброс — и увидеть это позволяет именно сигма.
Чем отличается выборка от генеральной совокупности?
Если вы измерили абсолютно все объекты (например, рост всех учеников класса), это генеральная совокупность и сумма квадратов отклонений делится на n. Если вы взяли только часть данных и хотите оценить разброс во всей группе, это выборка: делят на n − 1. Поправка n − 1 (поправка Бесселя) устраняет систематическое занижение оценки.
Как посчитать стандартное отклонение вручную?
Найдите среднее арифметическое, вычтите его из каждого значения, возведите каждую разность в квадрат и сложите. Полученную сумму разделите на n (или на n − 1 для выборки) — это дисперсия. Квадратный корень из дисперсии и есть стандартное отклонение. Для ряда 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 среднее равно 5, сумма квадратов отклонений — 32, дисперсия — 4, сигма — 2.
Что такое коэффициент вариации?
Это стандартное отклонение, делённое на среднее и выраженное в процентах. Он позволяет сравнивать разброс у величин с разными единицами измерения и масштабом. Считается, что при коэффициенте вариации до 33% совокупность однородна, а выше — разброс слишком велик, чтобы среднее было надёжной характеристикой.
Как связаны дисперсия и стандартное отклонение?
Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии. Дисперсия измеряется в квадратах единиц (если данные в килограммах, дисперсия — в кг²), поэтому для интерпретации удобнее сигма: она возвращается к исходным единицам.